Desigualdades y reglas para desigualdades

Resolver una desigualdad cómo 2(x + 3) < 4, significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales dicha desigualdad es cierta. Esto implica la aplicación de ciertas reglas que ahora establecemos.

Reglas para desigualdades

  1. Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
    si a < b, entonces a + c < b + c y a + c < b + c
    Por ejemplo: 7 < 10, de modo que 7 + 3 < 10 + 3
  2. Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
    si a < b y c > 0, de modo que ac < bc y a/c < b/cPor ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 3/2 < 7/2
  3. Si ambos lados de la desigualdad son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica:
    si a < b y c < 0, entonces a(-c) > b(-c) y a/-c > b/-c<
    Por ejemplo: 4 < 7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4/-7 > 7/-2
  4. Cualquier lado de la desigualdad puede ser reemplazado por una expresión equivalente. En forma simbólica:
    si a < b y a = c, entonces c < b
    Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.
  5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario de la original.
    Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼el recíproco de un número a diferente de cero está definido cómo 1/a.
  6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevados cada uno a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
    Por tanto 0 < a < b y n > 0, entonces an < bn

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15 comentarios en “Desigualdades y reglas para desigualdades”

    • si deseas resolver una desigualdad de segundo grado debes factorizarla y expresarla como la desigualdad de un producto, luego la resuelves teniendo en cuenta si es del tipo mayor que o menor que.

    • x2+5x-6>0
      al resolver la factorizaciòn queda (x+6)(x-1)>0
      (x+6)>0 x+6>0 x>-6 (-6,inf)
      (x-1)>0 x-1>0 x>1 (1,inf)
      la soluciòn 1 es (1,inf)

      (x+6)0 x<-6 (-inf,-6)
      (x-1)<0 x-1<0 x<1 (-inf,1)
      la soluciòn 2 es(-inf,-6)

      al realizar la uniòn entre estas dos soluciones tenemos (inf,-6)U (1,inf)